Paskal uchburchagi

                                         Paskal uchburchagi

                  Reja 

1 Paskal uchburchagi haqida 

2 Paskal uchburchagi xossalari 

3 Serpinskiy uchburchagi 

                                 Paskal uchburchagi haqida

 Agar m ta elementdan n tadan tuzish mumkin bo‘lgan barcha o‘rinlashtirishlarni bir – birlaridan, eng kamida bir element bilan farq qiladiganlarini tanlab olsak, u holda gruppalar deb aytilgan birlashmalarni hosil qilamiz. Masalan, to‘rt element a, b, c va d dan 3 tadan olib tuzilgan gruppalar bunday bo‘ladi: 

    abc, abd, acd, bcd 

Agar bu gruppalarning har birida mumkin bo‘lgan barcha o‘rin almashtirishlarni qilsak, to‘rt elementdan 3 talab mumkin bo‘lgan barcha o‘rinlashtirishlarni hosil qilamiz: 

                    abc  abd  acd  bcd

                    acd  adb   adc  bdc 

                    bac  bad   cad  cbd 

                    bca  bda  cda   cdb

                    cad  dab  dac  dba 

                    cba  dba  dca  dcb

 Bunday o‘rinlashtirishlarning soni 6·4=24 bo‘ladi. Shunday qilib m ta elementdan n tadan olib tuzilgan barcha o‘rinlashtirishlar soni m elementdan n tadan olib tuzilgan barcha gruppalar soni bilan n ta elementdan tuzish mumkin bo‘lgan barcha o‘rin almashtirishlar sonining ko‘paytmasiga teng. 

bunda ifoda m ta elementdan n tadan olib tuzilgan barcha gruppalar sonini belgilaydi. (C – fransuzcha “combinatsion” so‘zining bosh harfi, uning ma’nosi “gruppalash” demakdir.) Bunday gruppalarning quyidagi formulasini chiqaramiz: 

 Har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq )formula bilan ifodalanadi, har bir qatordagi sonlar qatorning teng o‘rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o‘zaro teng ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig‘indisiga teng 

• Ta’rif sifatida deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning raqamli qatoridan oldin raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak figurasiga o‘xshash 1- shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin

shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi. Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi. Uning Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. 

Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy1 XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan 

Garbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi2 butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilganligi haqida ma’lumotlar bor 

Keyinchalik G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel3 arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya4 , keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred5 (1631 yil) ham shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi.

 Paskal uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki, Paskal uchburchagi yordamida istalgan ta elementdan tadan gruppalashlar sonini faqat qo‘shish amali yordamida hosil qilish mumkin Bu amal formulaga asoslanadi. 

Paskal uchburchagi ko‘plab ajoyib xossalarga ega. B. Paskal yuqorida zikr etilgan traktatda: “Bu xossalarning haqiqatdan ham bitmas-tuganmasligi naqadar ajoyibdir” deb yozgan edi. 

• 1 At-Tusiy (Nosir ad-Din-Muhammad ibn Muhammad ibn-al-Hasan, 1201- 1274) – Eron astronomi va matematigi. 

• 2 Ali Qushchi (Jamshid ibn Ma’sud, tug‘ilgan yili noma’lum–taxminan 1436 yoki 1437 yilda vafot etgan) – o‘zbek matematigi va astronomi, 1420-30 yillarda Samarqandda Mirzo Ulug‘bek observatoriyasida ishlagan. 

• 3 Shtifel Mixel (Michel, 1487-1567) – olmon matematigi. 

• 4 Tartalya Nikkolo (Tartalia Nic-colo, 1499 yil atrofida tug‘ilgan-1557) – italyan matematigi va mexanigi. 

• 5 Otred Uilyam (Outred William, 1574-1660) – ingliz matematigi 

                         Paskal uchburchagi 

Paskal UchburchagiTarkibiPaskal uchburchagining qurilishi va ba'zi xususiyatlari Paskal uchburchagi va Fibonachchi raqamlari Paskal va Serpinskiy uchburchagi Paskal uchburchagi va tub sonlar Muammoni shakllantirish Amalga oshirish g'oyalari Rivojlanish Tayyor dastur Paskal uchburchagining qurilishi va ba'zi xususiyatlari Paskalning raqamli uchburchagi har xil matematik quvonchlarning bitmas-tuganmas manbaidir.Uchburchakning yuqori qatorida yolg'iz birlik joylashgan. 

Qolgan satrlarda har bir raqam ikki qo'shnisining yig'indisi bo'lib, yuqorida — chap va o'ngda. Agar qo'shnilardan biri yo'q bo'lsa, u nolga teng deb hisoblanadi. Uchburchak cheksiz pastga cho'ziladi; biz faqat sakkizta yuqori qatorni keltiramiz:Harf bilan belgilanguchburchakning qator raqami va harf- qatordagi raqam raqami (raqamlash ikkala holatda ham noldan boshlanadi). Ko'pincha b raqami- qator va ustida- ushbu satrdagi joy ko'rsatilgan 

Paskal uchburchagi bilan bog'liq ba'zi faktlarni nomlaylik. Raqamlaruchburchakning-chi qatori binomial koeffitsientlardir, ya'ni kengayishdagi koeffitsientlar- Nyuton binomining darajasi:.Barcha raqamlarning yig'indisi- qator teng- ikki daraja:.Agar qo'yilsa, bu formula binom formulasidan olinadi.Binomial koeffitsientni hisoblash uchun aniq formulani isbotlash mumkin:.Paskal uchburchagi va Fibonachchi raqamlariAgar Paskal uchburchagidagi chiziqlar chap tomonga tekislangan bo'lsa, u holda chapdan o'ngga va pastdan yuqoriga qarab diagonallar bo'ylab joylashgan raqamlarning yig'indisi Fibonachchi raqamlariga teng —(ushbu ketma-ketlikdagi har bir raqam oldingi ikkitasining yig'indisiga teng va ketma-ketlikni ikkita birlik boshlaydi):.

 O'z-o'ziga o'xshashlik fraktallarning o'ziga xos xususiyatlaridan biridir, biz bu haqda gaplashamiz. "L-tizimlar". Ushbu bobda Serpinskiy uchburchagi ham tilga olinadi.Paskal uchburchagi va tub sonlar Paskal uchburchagining tub sonlar bilan sirli aloqasi haqida biz kitobda [9] yu. Matiyasevichning kichik bir eslatmasida. Paskal uchburchagidagi raqamlarni chiziq raqamiga bo'lishdan qolgan qoldiqlari bilan almashtiramiz. Olingan uchburchakdagi chiziqlarni shunday joylashtiramizki, keyingi qator avvalgisining boshidan o'ng tomonda ikkita ustun bilan boshlanadi "Paskal uchburchagining tub sonlar bilan aloqasi" Keyin oddiy raqamlarga ega ustunlar faqat nollardan iborat bo'ladi va raqamlari kompozit bo'lgan ustunlarda nolga teng bo'lmagan raqam yo'naltirilgan dasturlash", 39. "Raqamli to'plamni bit bilan amalga oshirish"mavjud 

Paskal — Serpinskiy UchburchagiShunga o'xshash tasvirni quyidagicha qurish mumkin. To'ldirilgan uchburchakda biz uning o'rta uchburchagini (asl tomonlarining o'rtalari tomonidan hosil qilingan) boshqa rangga bo'yaymiz. Katta burchaklarda joylashgan uchta kichik uchburchak avvalgi rangga bo'yalgan bo'lib qoladi. Biz ularning har biri bilan xuddi katta bilan qilganimiz kabi harakat qilamiz, ya'ni har birida o'rta uchburchakni bo'yab qo'yamiz. Qolgan eski rangli uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilamiz. Agar ushbu protsedura cheksiz bajarilsa, asl uchburchak o'rnida ikki rangli shakl qoladi. Uning bo'yalmagan qismi serpinskiy uchburchagi deb ataladi.