Ekvivalent munosabat

Ekvivalent munosabat 

Ta’rif. Agar X to‘plamda berilgan R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda y ekvivalentlik deyiladi.Masalan, to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi munosabati, figuralarning tenglik munosabati, biror universitetdagi “kursdoshlik”, so‘zlar to‘plamida “o‘zakdoshlik” kabi munosabatlar refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatlardan iborat, ya’ni ular ekvivalentlik munosabatlardir.

Ekvivalentlik munosabatiga yana bir qancha misollar qaraymiz: 

1. R: “Sonli ifodalar to‘plamida x va y bir xil son qiymatga ega” munosabatni qaraymiz. Bu munosabat: 

a) refleksiv, chunki x ifodaning son qiymati x ifodaning son qiymatiga teng; 

A ixtiyoriy to'plam bo'lsin. Boʻsh boʻlmagan va juft boʻlmagan toʻplamlarning turkumi (B i ) i∈I oilasi (B i ) i∈I toʻplamlar birlashmasi A ga teng boʻlsa, A toʻplamning boʻlimi deyiladi, yaʼni.

B i to'plamlarning o'zi (B i ) i∈I bo'limining elementlari (yoki a'zolari) deyiladi .Masalan, [0,1/3], [1/3, 2/3) va [2/3,1] to'plamlar [0,1] segmentining bo'limini tashkil qiladi. A ning arzimas bo'limlari, ta'rifiga ko'ra, faqat A ning o'zidan iborat bo'lgan {A} bo'limi va A to'plamining barcha yagona to'plamlaridan iborat bo'limdir.

A va x ∈ A to'plamida p ekvivalent bo'lsin . A ning barcha elementlari to'plami x ga ekvivalent, ya'ni. {y: y p x} to'plam p ga nisbatan ekvivalentlik sinfi deb ataladi va [x] p bilan belgilanadi . E'tibor bering, refleksivlik tufayli, x ∈ A har qanday element uchun ekvivalentlik klassi bo'sh emas, chunki x ∈ [x] p .

1.4 teorema. A to'plamdagi har qanday ekvivalentlik munosabati uchun ekvivalentlik sinflari to'plami A to'plamning bo'limini tashkil qiladi. Aksincha, A to'plamning har qanday bo'limi undagi ekvivalentlik munosabatini belgilaydi, buning uchun ekvivalentlik sinflari bo'lim elementlari bilan mos keladi.

A toʻplamdagi p ekvivalentlik munosabati ushbu toʻplamning maʼlum bir qismini aniqlab berishini koʻrsatamiz . Keling, avvalo p ga nisbatan har qanday ikkita ekvivalentlik sinfi bir-biridan ajralgan yoki mos kelishiga ishonch hosil qilaylik.

Ikki ekvivalentlik sinflari [x] p va [y] p umumiy elementga ega bo'lsin z ∈ [x] p ∩ [y] p . Keyin z p x va z p y. P munosabatining simmetriyasi tufayli bizda x p z, keyin esa x p z va z p y mavjud. P munosabatining tranzitivligi tufayli biz x p y ni olamiz. h ∈ [x] p , keyin h r x bo'lsin. X r y bo'lgani uchun, u holda h r y va shuning uchun h ∈ [y] p .

Aksincha, agar h ∈ [y] p bo'lsa, u holda p simmetriyasi tufayli biz h r u, y p x va tranzitivlik tufayli h r x ni olamiz, ya'ni. h ∈ [x] p . Shunday qilib, [x]p = [y]p.

Demak, har qanday ikkita mos kelmaydigan ekvivalentlik sinflari kesishmaydi. Har qanday x ∈ A uchun bizda x ∈ [x] p (x r x dan beri), ya'ni. A to'plamining har bir elementi p ga nisbatan qandaydir ekvivalentlik sinfiga tegishli bo'lsa, u holda p ga nisbatan barcha ekvivalentlik sinflari to'plami dastlabki A to'plamining bo'limini tashkil qiladi. Shunday qilib, har qanday ekvivalentlik munosabatlari qandaydir bo'limni yagona tarzda aniqlaydi.

Endi B i ) i∈I A to‘plamning qandaydir bo‘limi bo‘lsin. Shunday p munosabatni ko‘rib chiqaylik, agar x va y berilgan bo‘limning bir xil B i elementiga tegishli bo‘lsa, x p y sodir bo‘ladi:

x r y ⇔ (∃ i ∈ I)(x ∈ B i ) ∧ (y ∈ B i ).

Ko'rinib turibdiki, kiritilgan munosabat refleksiv va simmetrikdir. Agar har qanday x, y, z uchun bizda x p y va y p z bo'lsa, u holda x, y va z p munosabatning ta'rifi tufayli bo'linishning bir xil B i elementiga tegishlidir . Shuning uchun, x p z va p munosabati o'tishli. Shunday qilib, p - A.  bo'yicha ekvivalent

1.4 teorema bizga ekvivalentlik munosabatlari va bo'limlarini aniqlash imkonini beradi: har qanday ekvivalentlik yagona bo'limni aniqlaydi va aksincha.

A to'plamdagi berilgan ekvivalentlik munosabati p bo'yicha barcha ekvivalentlik sinflari to'plami A to'plamning p ga nisbatan bo'laklar to'plami deb ataladi va A/ p bilan belgilanadi .

1.14-misol. A. Butun sonlar to'plamida ℤ moduli l tenglik munosabatini aniqlaymiz, bu erda k ∈ ℕ. Set* x= (modk) Y agar x - y k ga bo'linadigan bo'lsa.

 An'anaviy belgi: m = n (mod&).

Bu ekvivalentlik munosabati ekanligini tekshirish oson. Darhaqiqat, reflektorlik th m∈ℤm—m=0 uchun va k ga bo'linishidan kelib chiqadi; simmetriya - agar mn k ga bo'linadigan bo'lsa, mn ham k ga bo'linishidan. Tranzitivlikni isbotlash uchun e'tibor bering, agar mn k ga bo'linadigan bo'lsa, mp k ga bo'linadi, u holda ularning yig'indisi (mn)+(mp)=mp k ga bo'linadi. Boshqacha qilib aytganda, har qanday m, n, p butun sonlar uchun m= (modk) n va n=( (modk) )p dan m=( (modk) )p ga ergashadi, bu esa =( (modk) munosabatining tranzitivligini isbotlaydi. ) ).

m va n modul k sonlarining tengligi bu sonlar k ga bo‘linganda bir xil qoldiqlarni berishini bildiradi. Haqiqatan ham, har bir x∈ℤ uchun bizda x = m ⋅ k + r mavjud, bu erda r x ni k ga bo'lishning qolgan qismidir. Binobarin, x - r = m ⋅ k, ya'ni. x=( (modk) )r. Shunday qilib, har bir raqam =( (modk) ) munosabati bo'yicha uni k ga bo'lishda qoldiq bilan bir xil ekvivalentlik sinfiga kiradi . Jami 0, 1, ..., k - 1 boʻlishi mumkin boʻlgan aniq k turli qoldiqlar boʻlishi mumkinligi sababli, bu munosabat uchun aynan kk juftlik bilan har xil ekvivalentlik sinflarini olamiz: [0]= (modk) , [1]= (modk) , .. ., [k-1]= (modk) ' bunda [r]= (modk) klassi l ga bo'linganda k qoldiqni beradigan barcha butun sonlardan iborat.

E'tibor bering, biz faktorlar to'plami ℤ/= (modk) va 0, 1, ..., k - 1 raqamlaridan iborat ℤ k to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatdik .

Ikkinchi to'plam bizga tuzilgan omillar to'plamining "vizual tasvirini" beradi.Biz ℤ/= (modk) faktorlar to'plamini {0,1,..., k - to'plamiga teng deb hisoblay olmaymiz. 1}. Yoʻq, koʻrsatilgan faktorlar toʻplami k elementdan iborat boʻlib, ularning har biri raqam emas, balki barcha butun sonlar toʻplami boʻlib, k ga boʻlinganda qatʼiy qoldiq hosil boʻladi. Lekin har bir bunday ekvivalentlik klassi oʻziga xos tarzda dan butun son bilan bogʻlanadi. 0 dan k - 1 gacha, va aksincha, 0 dan k - 1 gacha bo'lgan har bir butun son bilan = (modk) munosabatiga ko'ra yagona ekvivalentlik sinfiga to'g'ri keladi .Matematikada faktorlar to'plamini to'plam bilan moslashtirish texnikasi ekanligini unutmang. u bilan ifodalash va tasvirlash oson bo‘lgan yakkama-yakka yozishmalar ko‘p qo‘llaniladi.

b. Haqiqiy sonlar to'plamida ℝ a= (mod1) b munosabatini aniqlaymiz, agar a - b soni butun son bo'lsa, a va b sonlari modul 1 ga teng deb faraz qilamiz. Ta'rifdan kelib chiqadiki, har bir raqam moduli 1 uning kasr qismiga teng *.

Munosabatlar (mod1) tenglik orqali aniqlanganligi sababli, ekvivalentlik munosabatining barcha xossalari uning uchun qanoatlantirilishini tushunish oson. Har bir ekvivalent klassi teng kasr qismlari bo'lgan raqamlarni o'z ichiga oladi. Bu shuni anglatadiki, ushbu munosabatga ko'ra har bir ekvivalentlik klassi yarim intervaldan [0,1) ma'lum bir sonni aniqlaydi va aksincha, har bir g[0,1) barcha haqiqiy sonlardan tashkil topgan ekvivalentlik sinfi bilan noyob tarzda bog'lanadi. kasr qismi g ga teng. Shunday qilib, koeffitsient to'plami ℝ/= (mod1) va sonlar chizig'idagi yarim interval [0,1) birma-bir muvofiqlikda. Bu yarim oraliq yuqorida aniqlangan omillar to'plamining ifodasi sifatida qaralishi mumkin. 

Keling, ekvivalentlik va xaritalash tushunchalari o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatamiz. E'tibor bering, A to'plamdagi har qanday ekvivalentlik p munosabati uchun f p (x) = [x] p ni belgilash orqali f p : A → A/p xaritalashni aniqlashimiz mumkin , ya'ni. har bir x ∈ A ga uni o'z ichiga olgan ekvivalentlik sinfini belgilash orqali. Ushbu xaritalash sur'ektivdir, chunki A to'plamining har bir elementi qandaydir ekvivalentlik sinfiga tegishli, ya'ni. uchun - har bir [x] p ∈ A/ p , [x] p = f p (x).

Shu tarzda aniqlangan fp xaritalash A to'plamining kanonik suryeksiyasi deyiladi.

Raqamning kasr qismi deganda yarim oraliqdan [0,1] kelgan raqam tushuniladi, shundayki, ba'zi bir n butun soni uchun a = n + bo'ladi. Shuning uchun manfiy sonning kasr qismi -a, bu erda a > 0, 1 - soni bo'ladi . Shunday qilib, -1,23 ning kasr qismi 0,23 emas, balki 0,77 = 1 - 0,23 bo'ladi.

Keling, har qanday xaritalash ba'zi bir ekvivalentlik munosabatlarini noyob tarzda aniqlashini ko'rsataylik.

1.5 teorema. f: A → B ixtiyoriy xaritalash bo'lsin. A to'plamdagi p f munosabati , bunda x p f y faqat f(x) = f(y) ekvivalentlik munosabati bo'lsa va A/ p f faktorlar to'plamining f( to'plamga ikkilanishi mavjud bo'lsa ). A).

Munosabatning refleksivligi, simmetriyasi va tranzitivligi p f bevosita uning taʼrifidan kelib chiqadi, yaʼni. p f - ekvivalentlik.

A/ r f faktorlar to‘plamining f(A) to‘plamga ph xaritalanishini quyidagicha aniqlaymiz : ph([x] r f ) = f(x).. r munosabatni belgilash usulidan kelib chiqadiki, xaritalash to'g'ri belgilangan, ya'ni. Har bir ekvivalentlik klassi bitta y ∈ f(A) element bilan bog'langan.

Keling, ph ning bijeksiya ekanligini isbotlaylik, buning uchun biz bir vaqtning o'zida u in'ektsiya va suryeksiya ekanligiga ishonch hosil qilamiz. [x] r f va [y] r f ekvivalentlik sinflari mos kelmasin. 1.4-teoremaga ko'ra, bu ularning kesishmasligini anglatadi, ya'ni. x y ga ekvivalent emas. p f nisbatning ta’rifidan f(x) ≠ f(y) ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, ph - bu in'ektsiya. Agar u ∈ f(A) element bo'lsa, u holda x ∈ A element mavjud bo'lib, u = f(x) = ph([x] r f ), ya'ni. ph - A/ p f faktorlar to‘plamining f(A) to‘plamga suryeksiyasi. Shunday qilib, ph - bu bijeksiyon. >

Binobarin, isbotlangan 1.4 va 1.5 teoremalari tufayli uchta tushuncha - toʻplam xaritasi, toʻplamdagi ekvivalentlik munosabati va toʻplamning boʻlinishi oʻrtasida bogʻliqlik mavjud. Lekin xaritalash va ekvivalentlik munosabatlari o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik borligi to'g'ri emas*. Ikki xil xaritalash xaritalangan to'plamning bir xil qismini belgilashi mumkin va shu bilan undagi bir xil ekvivalentlik munosabatini aniqlaydi. Masalan, har qanday bijektiv xarita f: A → B A-da bir xil bo'limni belgilaydi - bir elementli to'plamlarga arzimas bo'lim.

Ekvivalentlik munosabati, reflekslik , simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lgan to'plamdagi ikkilik munosabat . Batafsilroq, ikkilik munosabat∼to'plamda X Quyidagi xususiyatlarga ega bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi: (E1) x∼x

Barcha uchun x∈X (reflektorlik); (E2) agar  x∼y , Bu

y∼x   (simmetriya); (E3) agar  x∼y  va  y∼z,  bu  x∼z

(o'tish qobiliyati).Bundan tashqari, agar  x∼y , keyin ular elementlarni aytishadi  x va  y ekvivalentdir (ma'lum ekvivalentlik munosabatiga nisbatan). Ekvivalentlik munosabati ko'pincha ∼ belgi bilan belgilanadi .To'plamga qo'ying X berilgan ekvivalentlik munosabati ∼ ; har biriga x∈X  bir guruh

[ x ]={ a∈X:a∼x } (ya'ni, berilgan elementga ekvivalent elementlar to'plami   x) ekvivalentlik sinfi (aniqrog'i, elementning ekvivalentlik klassi)  deb ataladi.X Ikki element ekvivalent hisoblanadi, agar ularning ekvivalentlik sinflari mos kelsa, ya'ni. x∼y  keyin va faqat qachon  [ x ]=[ y ]. Har bir element   x∈X  uning ekvivalentlik sinfiga tegishli ( x∈[ x ] ), shuning uchun barcha ekvivalentlik sinflari bo'sh emas va ularning birlashuvi to'plamga to'g'ri keladi  X; Bundan tashqari, har qanday ikkita ekvivalentlik sinflari kesishmaydi yoki mos kelmaydi. Ekvivalentlik sinflari to'plami to'plamning  ko'rsatkichlari to'plami deb ataladi  X ekvivalentlik munosabati bilan  ∼  va belgilanadi           X / ∼.Oila  P  to'plamning kichik to'plamlari   X  bu to'plamning bo'limi deyiladi , agar u a) bo'sh bo'lmagan to'plamlardan iborat bo'lsa; b) qoplaydi   X  (ya'ni, agar

⋃P=X, boshqacha qilib aytganda - agar hamma  x∈X

  ba'zilariga tegishli   A∈P); v) juft-juft ajratilgan to'plamlardan iborat (ya'ni.  A∩B=∅  har xil uchun

A ,B∈P). Har bir ekvivalentlik munosabati   ∼to'plamda

X bo'limga mos keladi  P=X / ∼  bu to'plamdan ekvivalentlik sinflariga, ya'ni. P={ A⊂X:A=Ba'zi x uchun [ x ]   ∈X } .   Aksincha, har bir bo'limga   P  to'plamlar  X   ekvivalentlik munosabatiga mos keladi 

∼  uning ustida, quyidagicha aniqlanadi: ikkita element, agar ikkalasi ham ushbu bo'limning bir elementiga tegishli bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi, ya'ni.

x∼y agar va faqat x bo'lsa ,    y∈ Ba'zi A uchun A   ∈P;

ma'lum bo'lishicha, to'plamning bo'limi  X  aniqlangan munosabatga nisbatan ekvivalentlik sinflariga  ∼ asl bo'limga to'g'ri keladi  P , ya'ni.  X / ∼=P.

Ushbu qoidalar barcha ekvivalentlik munosabatlari to'plami o'rtasida birma-bir muvofiqlikni o'rnatib, bir-biriga teskari bo'lgan xaritalarni belgilaydi.

X va undagi barcha bo'limlar to'plami. Bu yozishmalar asosiy hisoblanadi; uning mavjudligini norasmiy ibora bilan ifodalash mumkin: "to'plamdagi ekvivalentlik munosabatini aniqlash uning bo'linishini aniqlash bilan bir xildir".

Ekvivalentlik munosabatlariga misollar. 

1. Ixtiyoriy to‘plamdagi tenglik munosabati: x∼y anglatadi x=y. Ekvivalentlik sinflari yagona to'plamlardir.

 2. Ixtiyoriy to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati  X, uning barcha elementlarini aniqlash, ya'ni qoida bilan belgilanadi:x∼y Barcha uchun  x ,y∈X. Agar to'plam X bo'sh bo'lmasa, u yagona ekvivalentlik sinfidir. (Bo'sh to'plamda noyob ekvivalentlik munosabati mavjud va bu holda ekvivalentlik sinflari to'plami bo'sh.)

3. Tekislikdagi chiziqlar to'plamidagi parallellik munosabati (har bir chiziq o'ziga parallel deb hisoblanadi). Ekvivalentlik sinflari - bu "oddiy" tekislikni proektsion tekislikka to'ldiradigan "cheksizlikdagi chiziq" nuqtalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan parallel chiziqlar to'plamlari .

4. Taqqoslash munosabati moduli m butun sonlar to'plamida, bu erda m  - natural son. Ikkita butun son 

a,b ga bo'linganda bir xil qoldiqni beradigan bo'lsa, ekvivalent bo'ladi  m (yoki farq bo'lsa, bu ekvivalent a−b tomonidan bo'linadi m). Ekvivalentlik sinflari modul qoldiq sinflaridir 

5. Ixtiyoriy topologik fazoda X quyidagi ekvivalentlik munosabatini belgilashingiz mumkin: x∼y, agar ulangan to'plam mavjud bo'lsa  A⊂X ikkala nuqtani ham o'z ichiga olad  x   va  y. Bu holda ekvivalentlik sinflari fazoning bog'langan komponentlari deb ataladi   X; har bir bog'langan komponent ulangan yopiq to'plamdir .

6. Ixtiyoriy to'plamda aniqlangan real qiymatli funksiyalar to'plami haqida T, “doimiy muddatgacha tenglik” munosabati mavjud: f∼g haqiqiy son borligini bildiradi C , shu kabi  f ( t )=g ( t )+C  Barcha uchun t∈T. Matematik tahlilda bunday ekvivalentlik munosabatlarining paydo bo'lishi uchun odatiy holat  noaniq integrallar bo'lib , ular antiderivativ funktsiyalarning mos keladigan ekvivalentlik sinflari sifatida qaralishi mumkin.

7. 6-misoldagi funksiyalar to‘plamida “musbat doimiy omilgacha bo‘lgan tenglik” munosabatini ham ko‘rib chiqishimiz mumkin: f∼g  haqiqiy son borligini bildiradi  K>0,  shu kabi   f ( t )=kg ( t ) _Barcha uchun

t∈T. Bunday ekvivalentlik munosabati, masalan, fizikadagi o'lchamlarni tahlil qilishda , fizik miqdorlarning bog'liqligini "omilgacha" deb hisoblash mumkin bo'lganda paydo bo'ladi, bu turli o'lchov birliklarini tanlash imkoniyati bilan bog'liq.

Ekvivalentlik munosabati kontseptsiyasi fundamental ahamiyatga ega bo'lib, ob'ektlarni qandaydir xarakteristikaga ko'ra identifikatsiyalash (va mos ravishda ularni sinflarga bo'lish, ularning har biri ushbu xususiyatga ko'ra bir-biri bilan identifikatsiyalangan ob'ektlarni o'z ichiga olgan) intuitiv g'oyasini matematik jihatdan aniqlashtirishdir. . Tasviriy ma’noda ma’lum bir to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati uning elementlarining “bir shartgacha” “tengligini”, ekvivalentlik klassi esa “shunday aniqlik bilan ko‘rib chiqilgan” elementni ifodalaydi (yuqoridagi 6-misolga qarang. musiqa nazariyasi va musiqiy akustikada balandlik sinfi tushunchasi ).