Nyuton binomi

                                                    REJA:

1.Kirish

2.Nyuton binomi haqida ma’lumot

3.Binomial koeffitsientlar

4.Xulosa

5.Foydalanilgan adabiyotlar

                                                                        KIRISH

Diskret  matematika  - matematikaning  bir  qismi b o iib ,  meloddan aw al  IV asrda  yaratila  boshlangan. Diskret  matematika  matematikaning  takomillashgan  sonlar nazariyasi,  algebra,  matematik mantiq  qismlaridar.  tashqari XX  asr  o ‘rtalaridagi  fan-texnika taraqqiyoti  tufayli jadal  rivojla- nayotgan  funksional sistemalar  nazariyasi,  graf va  to'rlar  nazariyasi, kodlashtirish nazariyasi, kombinator analiz kabi bo‘limlami ham o‘z ichiga oladi. Dastlab  faqat  matematik mantiq,  algebra,  matematik analiz,  matematika  asoslari, ehtimollar nazariyasi,  geometriya,  topologiya, sonlar  nazariyasi,  modellar nazariyasi  kabi  matematik fanlarda  tatbiq  etib kelingan  diskret  matematika XX  asming  40- yillaridan  boshlab  hisoblash matematikasi,  kibemetika, axborot  texnologiyalari,  iqtisodiyot, psixologiya,  matematik lingvistika,  tibbiyot  fanlari va  diskret  texnikada ham  keng qo‘llanilmoqda.  Diskret  matematika elektr  sxemalami  loyihalashda va tekshirishda,  avtomatik hisoblash  mushinalarini  loyihalash va  dasturlashtirishda,  diskret avtomatlarni  mantiqiy  loyihalashda, EHM  elementlari va qismlarini loyihalashda, har xil texnik sistemalar, qurilmalar  va avtomatik  mashinalami  tahlil va  sintez  qilishda keng  miqyosda  tatbiq etiladi. Matematik mantiq fani elektron hisoblash mashinalarining vujudga kelishiga  va  uni mukammalashtirishga  katta  hissa  qo‘shdi.  Diskret matematika informatikaning poydevori bo‘lishi bilan  birga,  hozirgi zamon matematik ta’limning muhim bo‘g ‘ini ham hisoblanadi. Mantiq  - muhokama  yuritishning  qonun-qoidalari,  usullari va formalari  (shakliari)  haqidagi fan  bo'lib,  uning asoschisi  qadimgi  yunon mutafakkiri  Aristotel (miloddan  avvalgi  384-322 y.)  hisoblanadi.  U birinchi bo'lib  deduksiya  nazariyasini, ya’ni  mantiqiy  xulosa chiqarish nazariyasini yaratib,  mantiqiy xulosa  chiqarishning formal  xarakterga ega ekanligini  ko'rsatdi.  Aristotelning mantiqiy  ta’limoti  formal mantiqning (logikaning) asosini tashkil qiladi. Formal mantiq fikrlashning formalari va qonunlarini tekshiradi.  Shunday  qilib, Aristotel  mantiqiy  fikrlashning asosiy qonunlarini ochdi.Aristotel  asos  solgan mantiq ko'p  asrlar davomida turli  mutafakkirlar, faylasuflar  va butun  falsafiy  maktablar tomonidan  to'ldirildi, o'zgartirildi va takomillashtirildi.  Shu  jumladan, Abu  Nasr  Farobiy, Abu  Ali  Ibn Sino, Abu Rayxon Beruniy, Muhammad  al-Xorazmiy, Umar Xayyom,Alisher  Navoiy, Mirzo  Bedil  kabi Sharqning  buyuk  mutafakkirlari  ham o'zlarining katta hissalarini qo'shdilar.

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.

Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Masalan, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.

O’rta maktab matematikasida quyidagi ikkita qisqa ko’paytirish formulalarini eslasak:

Yig’indining navbatdagi ikkita ,yani 4-va5-darajalarini hisoblaymiz:

(a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ) =

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ,

(a + b)5 = (a + b)(a + b)4 =(

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

 Shunday qilib, yig‘indining bikvadrati (ya’ni to‘rtinchi darajasi)

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

va yig‘indining beshinchi darajasi

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

formulalariga ega bo‘lamiz.

Yuqorida keltirilgan yig‘indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari          o‘ng        tomonlaridagi    ko‘phad                     koeffitsientlari            Paskal      uchburchagining                     mos

qatorlaridagi Cm ( n = 2,3,4,5 ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1-t e o r e m a . Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o‘rinlidir.

I s b o t i . Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz.

Baza: n=1 bo’lganda formula to’g’ri:

Induksion o‘tish: isbotlanishi kerak bo‘lgan formula n=k uchun to’g’ri bo’lsin,

Ya’ni     

Formula n=k+1 bo’lganda ham to’g’ri ekamligini isbotlaymiz.Haqiqatdan ham 

= formuladan foydalanib ,quyidagilarni hosil qilamiz:

Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun

Ifodaning ko’phad shaklidagi yoyilmasi Nyuton binomi deb ataladi . sonlarini Binomial koeffitsientlar deb atashadi. Bunday ta’rif bu koeffitsietlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o’rniga qarab berilgan bo’lib, son 

Yoyilmadagi ifodning koeffitsientidir.

2-t e o r e m a . Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun 

Formula o’rinlidir.

I s b o t i . Nyuton binomi formulasida b ni (-b)ga almashtirsak kerakli formulani hosil qilamiz.

1-m i s o l . Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko‘paytirish formulalari kelib chiqadi:

n=2 bo‘lganda ayirmaning kvadrati formulasi

n=3 bo’lganda ayirmaning kubi formulasi 

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.Haqiqatdan ham , ixtiyoriy  ,.., sonlar uchun 

)   ifodani 

)

Ko’rinishda yozish mumkin.Bu tenglikdan o’ng tomonda joylashgan oldidagi koeffitsient birga teng. Birinchi qavslar ichidagi qo‘shiluvchilar

Soni n ga ) tengligi yaqqol

n                                                                                                                                                                                               n

ko‘rinibturibdi. Ikkinchiqavslar ichidagiqo‘shiluvchilar b1, b2 ,..., bn     (n ta)elementlardan

ikkitadan ko‘paytmalar (soni C2 ga teng gruppalashlar) ekanligini ham payqash qiyin emas.

Uchinchi qavslar ichidagi qo‘shiluvchilar esa o‘sha n ta elementlardan uchtadan ko‘paytmalar

bo‘lib, ularning soni C3ga teng va hokazo. Oxirgi qo‘shiluvchi oldidagi koeffitsient birga (

1 = Cn ) teng. Yuqoridagi tenglikda hosil qilamiz.

b1 = b2

= ... = bn = b

deb olsak, Nyuton binomi formulasini

1. Binomial koeffitsientlarning xossalari

Binomial   koeffitsientlarning   ba’zi   xossalarini   keltiramiz.                            Bu                           xossalar                  bevosita gruppalashlarga oid bo‘lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.

1. xossa .

m+1

     n       m

n

n - m m +1

( m = 0,1,2,...,n - 1) tenglik o‘rinlidir.

Haqiqatdan ham,

Cm+1

     n      =

Cm

n!

(m +1)!(n - m -1)! =

n!

m!(n - m)!       =

(m +1)!(n -m -1)!

n                                                  

m!(n -m)!

= m!(n - m - 1)!(n - m) = n - m . ■

m!(m +1)(n - m - 1)!     m + 1

Bu xossa binomial koeffitsientlar qatoridagi istalgan ketma-ket ikki elementning biri ma’lum bo‘lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko‘rsatadi:

Cm+1 = n - m Cm ,

Cm =

m + 1 Cm+1 ,

bu yerda

m = 0,1,2,...,n -1 .

n        m + 1    n

n      n - m    n

1. xossa . Ixtiyoriy natural n son uchun barcha    m ( m =0,n ) binomial koeffitsientlar

yig‘indisi

2n ga teng, ya’ni

C0 +C1 +C2+ ... +Cn-1+ Cn =2n .

n            n            n                       n                n

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a = b =1 deb olganda hosil bo‘ladi. ■

1. xossa . Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsientlar yig‘indisiga teng.

Haqiqatdan ham, Nyuton binomi formulasida a =1va b =-1 deb olganda

0 =C0 -C1 +C2- C3+ ... +(-1)n Cn

n            n            n            n                                     n

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to‘g‘riligi kelib chiqadi. ■ 2-va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

1. xossa .    n     natural    sondan   oshmaydigan    eng    katta toq            m    son          uchun

C1 +C3 +... + Cm =2n-1tenglik hamda n sondan oshmaydigan eng katta juft m   son uchun

n            n                       n

C0 +C2 +... + Cm =2n-1tenglik o‘rinlidir.

n            n                       n

1. xossa . Toq n son uchun

C0< C1< ... < C

n-1 2

n-1 +1

= C 2        ,

n-1 +1

C 2

n-1 +2

• C 2

> ... > Cn ,

n            n

juft n son uchun esa

n                 n                          n

n                  n

n                                 n

n +1

C0< C1< ... < C 2 ,

C 2 >C 2

> ... > Cn ,

n            n

munosabatlar o‘rinlidir.

n                  n             n                             n

Haqiqatdan ham,

m < n - 1

2

shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural n va m sonlar

uchun

n - m > 1

m +1

tengsizlik o‘rinlidir,

m > n - 1

2

bo‘lganda esa

n - m < 1

m +1

tengsizlikka ega

bo‘lamiz. Bu yerda

Cm+1  = n - m Cm

formulani (1-xossaga qarang) qo‘llab, xossadagi barcha

n        m + 1    n

tengsizliklarni hosil qilamiz.

Agar n toq son bo‘lsa,

m = n - 1

butun son bo‘lib,

n - m =

n - n - 1

2

= 2n - n + 1 = n + 1 = 1

2

n - m

m +1

n - 1 + 1

2

n - 1

n - 1+ 2

n + 1

n-1 +1

n-1

munosabat o‘rinlidir. Demak,

tenglik kelib chiqadi. ■

Cm+1 =

m +1

m  formuladan m =

2

bo‘lganda

Cn 2

= Cn 2

Binomial koeffitsientlarning 5-xossasi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan

é n ù

xossalari tasdig‘i  bo‘lib, unga ko‘ra binomial koeffitsientlar oldin C0= 1dan C êë 2 úû gacha11

o‘sadi, keyin esa Cn =1gacha kamayadi hamda n   toq bo‘lganda binomial koeffitsientlar

qatorining o‘rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo‘lganda uning o‘rtadasigi hadi eng katta va yagonadir.

Quyidagi 6–8-xossalar o‘rinlidir.

1. xossa . Cn +Cn

+ ... +Cn

= Cn+1    .

n            n+1

n+k

n+k +1

7-xossa . (C0 )2  + (C1 )2  + ... + (Cn )2  = Cn  .

n                   n                             n                  2n

8-xossa . C0Ck +C1Ck-1+... +CkC0= Ck    .

n     m            n    m

n     m            n+m

Oxirgi tenglik Koshi12 ayniyati deb aytiladi.

Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini keltiramiz.

Birinchidan,

s =(1 + x)n + (1 + x)n+1+ ... +(1 + x)n+k

ko‘phad uchun Nyuton binomi formulasini qo‘llab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

n                          n+1                                    n+ k

s =åCmxm +åCm xm + ... + åCm

xm .

n

m=0

m=0

n+1

m=0

n+k

Bu yerdan, s ko‘phaddagi xn ifodaning koeffitsienti

Cn + Cn +... + Cn

n

yig‘indiga tengligini aniqlash mumkin.

n+1

n+k

Ikkinchidan,

s = (1+x)n (1+(1+x) +... + (1+x)k )

ifodani geometrik progressiya hadlari

yig‘indisi formulasiga binoan quyidagicha ham yozish mumkin:

s =(1+

n (1+ x)k+1 -1 = 1 (

• x)

n+k +1 -

(1+

x)n ).

1+ x -1        x

Bu yerda ham Nyuton binomi formulasini qo‘llab, hosil bo‘lgan ko‘phadning xn  daraja

qatnashgan hadi koeffitsienti

n+1 n+k +1

ekanligini ko‘rish mumkin. Keltirilgan bu mulohazalar

asosida 6-xossadagi tenglikka ega bo‘lamiz. ■

Ravshanki, Cm =Cn-m formula e’tiborga olinsa, 7-xossa 8-xossadan

m = k = n

bo‘lganda

n              n

xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat 8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.

Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko‘ra

11 [a] yozuv a sonning butun qismini anglatadi.

12Koshi (Cauchy Ogyusten Lui, 1789-1857) –fransuz matematigi.

(1 + x)n =

å

s=0

Cs xs ,

(1 + x)m=

å

t=0

Ct xt,

n+m

n+m                     p         p

n+m

p=0

n                  m                       n+m

tengliklarga, bulardan esa

(1+x)n (1+x)m = (1+x)n+m

bo‘lgani uchun

åCs xs åCt xt = åC p x p

n

s=0

m

t =0

p=0

n+m

tenglikka ega bo‘lamiz. Oxirgi tenglikning ikkala tomonidagi xk ( k = 0,1,..., min(m, n) ) daraja

koeffitsientlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo‘lgan formulani hosil qilamiz.

■

Albatta, yuqoridagu uchta xossalar boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin.

Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.

2-m i s o l . Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n

nafar o‘g‘il va m nafar qiz bolalardan tashkil topgan talabalar guruhidan k ( k = 0,1,..., min(m, n)

) nafar talaba tanlash zarur bo‘lsin. n + m nafar talabalardan k nafar talabani Ck                                                                                                              xil usul bilan

tanlash mumkinligi ravshan.

Boshqa   tomondan   olib   qaraganda,

n + m

nafar   talabalardan   iborat   to‘plamdan

tanlanadigan barcha k elementli qism to‘plamlarni ularning tarkibidagi o‘g‘il bolalar soniga qarab sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida s ( 0 £ s £ k ) nafar o‘g‘il

bola bo‘lgan k elementli qism to‘plamni oldin

s   xil usul bilan tanlab, keyin

(k - s)

nafar qiz

bolalarni

k -s m

xil usullardan birortasi yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s nafar

o‘g‘il bola bo‘lgan k nafar talabadan iborat qism to‘plamlar soni, ko‘paytirish qoidasiga

asosan,

CsCk -s

songa tengdir. Noldan k gacha bo‘lgan barcha butun s sonlar uchun barcha

n     m

kombinatsiyalarni hosil qilib va bu kombinatsiyalarga mos ko‘paytmalarni yig‘ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz. ■

Binomial koeffitsientlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to‘plamlamlar nazariyasiga tadbiqini qaraymiz.

3-m i s o l . ChekliA to‘plam2A buleanining elementlari va bu elementlar soni bilan

binomial koeffitsientlarning uzviy bog‘lanishi bor. Bu bog‘lanish quyidagicha ifodalashi

mumkin. Chekli    A    to‘plam   2A   buleani tarkibidagi elementlar    A                                     to‘plamning qism

to‘plamlaridan iborat bo‘lgani uchun, shu qism to‘plamlarni quvvatlari bo‘yicha ( | A | +1)ta guruhlarga ajratish mumkin. Tushunarliki, bu yerda k raqamli guruh ( k = 0,| A | ) quvvati k ga

teng bo‘lgan barcha qism to‘plamlardan tashkil topadi va undagi qism to‘plamlar soni

teng. ■

Ck g

                                                            XULOSA

Diskret matematika  matematikaning  takomillashgan  sonlar nazariyasi,  algebra,  matematik mantiq  qismlaridar.  Tashqari XX  asr  o ‘rtalaridagi  fan-texnika taraqqiyoti  tufayli jadal  rivojla- nayotgan  funksional sistemalar  nazariyasi,  graf va  to'rlar  nazariyasi, kodlashtirish nazariyasi, kombinator analiz kabi bo‘limlami ham o‘z ichiga oladi. Dastlab  faqat  matematik mantiq,  algebra,  matematik analiz,  matematika  asoslari, ehtimollar nazariyasi, geometriya,  topologiya,  sonlar nazariyasi,  modellar  nazariyasi kabi  matematik  fanlarda tatbiq  etib  kelingan diskret  matematika  XX asming  40-  yillaridan boshlab  hisoblash matematikasi,  kibemetika,  axborot texnologiyalari,  iqtisodiyot, psixologiya,  matematik  lingvistika, tibbiyot  fanlari  va diskret  texnikada ham  keng qo‘llanilmoqda

                               FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1.MATEMATIK MANTIQ VA DISKRET MATEMATIKA kitobi (XOTAM TO’RAYEV)

2. https://uz.wikipedia.org/wiki/Nyuton_binomi

3. https://uztext.com/51939-text.html