Mulohazalar hisobi

Reja:

Kirish

I.Mulohazalar Hisobi

1.Mulohazalar hisobi lormulasi

2.Isbotlanuvchi formula tushunchasi.

3.Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi.

II.Keltirib chiqarish qoidalari

1.Keltirib chiqarish (isbotlash) tushunchasi.

2.lsbotlash tushunchasi

III.Xulosa
 

KIRISH

Ta’lim jarayoniga multimedia sistemalarini qo‘llash natijasida o‘qituvchi bilimi va kompyuter imkoniyatlari birlashib, elektron darsliklar yaratilmoqda. Elektron darsliklar ko‘rgazmali, rangli tasvirlarga boy bo‘lib, bu darsliklardagi ma’lumotlar tez esda qolishi bilan ahamiyatlidir. Elektron darsliklar nazariy, amaliy qismlardan iborat bo‘lib, nazorat ishlari to‘plami, kurs ishlari mavzulari, o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar to‘plami va h.k.larni qamrab olishi mumkin. Eng ahamiyatlisi bu darslik bitta disk yoki boshqa elektron ma’lumotlarni saqlovchi fizik hajmi katta bo‘lmagan moslamaga joylashishi mumkin. Ta’lim jarayoniga axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini qo‘llash shartsharoitlari, imkoniyatlari. 1. Ta’limni axborotlashtirish-yangi sifatga erishishda ta’lim maqsadi, mazmuni, metod, vosita va natijalarining o‘zgarish jarayonidir. 2. Ta’limni axborotlashtirish – uni modernizatsiyalashtirishning muhim komponenti va zaruriy shartidir. 3. Ta’limni axborotlashtirish – ta’lim sub’ektlarining barcha faoliyat turlarida axborot-kommunikatsiyalari bo‘yicha kompetentligini o‘quv fanlari doirasida shakllantirish vazifasini hal etishni nazarda tutadi. 4. Axborot-kommunikatsiyalari bo‘yicha kompetentlikning muhim komponenti - ommaviy axborot vositalari va Internet materiallariga faol va mustaqil tanqidiy yondashuvdir. 5. Ta’lim muassasasi faoliyatining barcha sohalarini axborotlashtirish, kompyuterni barcha rahbar va o‘qituvchining ish quroliga aylantirish orqaligina ta’limni axborotlashtirishni amalga oshirish mumkin.

1.1 Mulohazalar hisobi formulasi

Ushbu bobda mulohazalar hisobining simvollari, lormulasi, aksiomalar sistemasi, keltirib chiqarish qoidalari, formulalar majmuasidan formulani keltinb chiqarish qoidasi, deduksiya va umumlashgan deduksiya teoremalari, ayrim mantiq qonunlarining isboti, mulohazalar algebrasi va mulohazalar hisobi orasidagi munosabatlar, mulohazalar hisobida yechilish, zidsizlik, toMiqlilik va erkinlik muammolari kabi masalalar bayon ctilgan. Mulohazalar hisobi aksiomalik mantiqiy sistema bo‘lib, mulohazalar algebrasi esa lining interprctatsiyasidir (talqinidir). Berilgan aksiom alar sistem asi negizida qurilgan aksiomatik nazariya deb, shu aksiom alar sistem asiga tayanib isbollannrchi hamma teorem alar m ajm uasiga aytiladi. Aksiomatik nazariya formal va formalmas nazanyalarga bo‘linadi. Formalmas aksiomatik na/ariya nazariy-to'plamiy mazmun bilan to‘Idirilgan bo"lib, keltirib chiqarish tushunchasi aniq berilmagan va bu nazariya asosan llkr mazmuniga suyanadi. Qaralayotgan aksiomatik nazariya uchun quyidagi shartlar bajarilgan bo "Isa. y a ’ni: 1) nazariyaning tili berilgan; 2) formula tushunchasi aniqlangan; 1) aksiomalar deb alaluvchi formulalar to'plami berilgan; 4) bu nazariyada keltirib chiqarish qoidasi aniqlangan bo'lsa, formalaksiomatik nazariya aniqlangan deb hisoblanadi

Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobmngtafsifi bu hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat.

Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul qilinadi.

Birinchi kategoriya simvollari: x,y,z, ... , ,...Bu simvollarni o‘zgaruvchilar deb ataymiz.

Ikkinchi kategoriva simvollari:  ˄.  ˅. →.  ¬. Bular mantiqiy bog'lovehilardir. Birinchisi - dizyunksiya voki mantiqiy qo'shish belgisi, ikkinchisi - kon’yunksiya yoki mantiqiy ko‘paytma belgisi, uchinchisi implikatsiya belgisi va to'rtinchisi - inkor belgisi deb ataladi. Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( . ) simvollar kiritiladi.

 Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo‘q

Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalarhisobining formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muavyan ketma-ketligiga aytiladi.

Formulalarni belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi. Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo‘lib xizmat qiladi. Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta'rifini keltiramiz.

Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi: 

1) har qanday x, y, z, ... о ‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir; 

2) agar A va В ning har biri formula bo‘lsa, u holda ( А ˄ В ), [ A ˅ В ), ( A →B) va ham formuladir.

3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi. O'zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz.

Formula ta ’rifining 1) bandiga ko'ra x,v,z,... o'zgaruvchilarning har biri formula bo'ladi. U vaqtda ta ’rifning 2) bandiga muvofiq (х˄y ) , (x˅y ) , ( x→y ),  ham formulalardir. Xuddi shu kabi (x ˅ y ), ((х ˄ y )→z)). ((х ˄ y ) → z ) ) , ((х ˄ y )  → ( y →z)) ham formulalar bo'ladi. 

Quyidagilar formula bo'la olmaydi:

x .  ˄z . (x ˅ y , x→y. (х˄y ) →.

Mulohazalar hisobi qismiy formulasi tushunchasi quvidagicha aniqlanadi

1) elementar formula uchun faqat uning о‘zi qismiy formuladir; 

2) agar A formula bo'lsa, u holda shu formulaning o'zi, A formula va A formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi;

3) agar formula A * В ko'rinishda bo'lsa (bu yerda va bundan keyin * o'rnida ˅ , ˄ yoki → simvollardan birortasi bor deb tushunamiz), u holda shu formulaning o'zi, A va В formulalar hamda A va В  formulalarning barcha qismiy formulalari A * В formulaning qismiy formulalari bo 'ladi.

2-misol.       ((x˅ ) →( )) formula uchun:

((x˅ ) →( )) - nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula, 

((x˅ ) ,( ))  - birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

x˅  →( →y) -ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

y,  ~ uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

 z - to‘rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo'ladi. 

 Formulalarni yozishda ayrim soddalashtirishlarni qabul qilamiz. Xuddi mulohazalar algebrasidagi kabi qavslar haqidagi kelishuv va mantiqiy amallarni bajarish imtiyozlari bu yerda ham o‘rinli deb hisoblaymiz. Bu kelishuv va imtiyozlarga binoan, masalan, 

((x˅y)˄z), (x˄y) va ((x˄y)→(z˄t))  formulalarni mos ravishda 

x˅y˄z), x˄y va x˄y→z˄t ko ‘rinishda yozish mumkin.

1.2 Isbotlanuvchi formula tushunchasi.

Endi mulohazalar hisobida isbotlanuvchi formulalar sinfini o'rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchasiga ham formula tushunchasi ta'rifiga o‘xshash ta’rif beriladi. Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali mavjud isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi. Dastlabki isbotlanuvchi formulalardan keltirib chiqarish qoidasini qo‘llash yo'li bilan yangi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish shu formulalarni aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi.

1.3 Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi.

Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo’lib, ular to‘rt guruhga bo’linadi.

Birinchi guruh aksiomalari: 

1.1. x→ ( y→ x ) . 

1.2. (x→(y→z))→(( x→y) → ( x→z )) .

Ikkinchi guruh aksiomalari: 

2.1. x˄y→x.

2.2. x˄y→y

2.3. (z→x)→((z→y)→(z→x˄y)).

Uchinchi guruh aksiomalari: 

3.1 x→x˅y.

3.2 y→x˅y

3.3 (x→z)→((y→z)→(x˅y→z)).

To'rtinchi guruh aksiomalari: 

4.1 (x→y)→→)

4.2 x→

4.3→x

2.1 Keltirib chiqarish tushunchasi.

Keltirib chiqarish. O'rniga qo'yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi. Isbotlash.

Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb ataluvchi o‘rniga qo’yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi. 

4.2.1. O'rniga qo'yish qoidasi. Agar A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulasi, x o'zgaruvchi, В mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo‘lsa, u holda A formula ifodasidagi hamma x lar o'rniga В formulani qo'yish natijasida hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo'ladi. A formuladagi hamma x o'zgaruvchilar o'rniga В formulani qo'yish operatsiyasini (jarayonini) o'rniga qo'yish qoidasi deb aytamiz va uni . quyidagicha belgilaymiz:

O'rniga qo'yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz:

1. agar A faqat x o'zgaruvchidan iborat bo'lsa. u holda . o'rniga qo'yish В formulani beradi:
2.  agar A formula x dan farqli у o'zgaruvchidan iborat bo'lsa, u  vaqtda . o'rniga qo'yish A ni beradi;
3. agar A o'rniga qo'yish aniqlangan formula bo'lsa, u holda formuladagi x o'rniga В formulani qo'yish natijasida o'rniga qo'yishning inkori kelib chiqadi, ya’ni o'rniga qo'yish ni beradi.
4. agar va formulalarda o‘rniga qo‘yish aniqlangan bo'lsa, u holda  o'rniga qo'yish * ni beradi.

c) agar A, va Л2 formulalarda o ‘rniga q o ‘yish aniqlangan bo'Isa, 11 />■ н holda | ( A, * A2 ) o'rniga qo'yish J ( A] ) * J ( A2 ) ni beradi.

Agar A isbotlanuvchi formula bo'lsa, u holda uni |—A shaklda yozishga kelishamiz. U holda o'rniga qo'yish qoidasini quyidagicha  sxematik ravishda ifodalash mumkin: va uni “agar A isbotlanuvchi formula bo'lsa, u holda ham isbotlanuvchi formula bo'ladi” deb o‘qiladi.

4.2.2. Xulosa qoidasi. Agar A va A→B mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulalari bo'lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo'ladi. Bu qoida xulosa qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:

|A|A*B

|-B

1-t a ’rif (isbotlanuvchi formula ta’rifi). 

a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir; 

b) isbotlanuvchi formuladagi X о 'zgaruvchi о'rniga ixtivoriv В formulani qo'yish natijasida hosil bo’lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi; 

d) A va A→В isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida olingan В formula isbotlanuvchi formuladir; 

e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula emas. 

2- t a ’rif. Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish jarayoni isbot qilish (isbotlash) deb ataladi. 

1- m i s o l . |- A→A bo'lishini (implikatsiyaning refleksivligini) isbotlaymiz. Buning uchun aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda o'rniga qo'yishni bajarish natijasida

|-( X→ ( y→X ) )→( ( X→у )→(x→x) ) ( 1 )

 kelib chiqadi. aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo'llab 

|-(x→y )→(x→x) ( 2 ) 

formulani hosil qilamiz. 

(2) formulaga nisbatan o‘rniga qo'yishni bajarish natijasida 

|-(x→)→(x→x)   ( 3 ) 

isbotlanuvchi formulaga ega bo'lamiz. 

aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo’llash natijasida 

|-x→x          (4) 

isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o'zgaruvchi o’rniga A formulani qo'ysak |- A→A isbotlanishi kcrak bo'lgan formula hosil bo'ladi

2- misо1. |-x˅у→ ˄ ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham. aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o'rniga qo'yish usulini qo'llaymiz: avval x ni ga va keyin у ni ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega bo'lamiz.

 |— (z→ )→ ((z→ ) → ( z→ ˄ ))                  (5) 

(5) formulaga nisbatan o’rniga qo'yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz:

|-(()→)→((→у)→ (→ ˄ ) ) . 

Endi   →      (6) 

→      (7) 

formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun aksiomaga nisbatan 

o'rniga qo'yishni bajaramiz. Natijada |-(x→x˅y)→(→x)     (8)

formulaga ega bo'lamiz. (8) formula va aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini ishlatib. (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko'rsatish mumkin. 

(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo'llasak.

|-(→y) → ( → ˄)   (9) 

isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.

(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo'llab, berilgan |- ( → ˄)  formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz .

2.1 lsbotlash tushunchasi

Keltirib chiqarish qoidasi.

 Keltirib chii/eiri/adigtin formulalar sinfi. Isbotkm uvcbi form ulalar sinfi. lsbotlash tushunchasi. Keltirib chiqarishning xossalari. 

4.4.1. Formulani keltirib chiqarish qoidasi. H={,, … ,} chekli formulalar majmuasi (to'plami) berilgan bo'lsin. Bu formulalar majmuasidan formulani keltirib chiqarish tushunchasini o'rganamiz. 

1- t a ’rif. 1) Har qanday A, H formulalar majmuasi H dan keltirib chiqariladigan formuladir. 

2 ) Har qanday isbotlanuvchi formula H dan keltirib chiqariladi. 

3) С va С → В lar H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan formulalar bo’lsa, u holda В formula ham H dan keltirib chiqariladi. 

Biror В formula H formulalar majmuasidan keltirib chiqariladigan bo'lsa, uni simvolik ravishda H |- В shaklda yozamiz. Agar H bo‘sh to'plam yoki elementlari faqat isbotlanuvchi formulalardan iborat bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfi bilan mos keladi. Agar formulalar majmuasi H ning hech bo'lmaganda bitta elementi isbotlanmaydigan formuladan iborat bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfiga nisbatan kengroq bo'ladi. Misol. A ˅ B formula H = {A,B} formulalar majmuasidan keltirib chiqarilishini ko'rsatamiz. Haqiqatdan ham, A H va BH bo'lgani uchun formulani keltirib chiqarish qoidasiga asosan quyidagilar o'rinli: 

H |-A                                                             (1)

H |- B                                                             (2)

va aksiomalarga nisbatan va ) o'rniga qo'yishlarni bajaramiz. Natijada isbotlanuvchi formulalar hosil bo'ladi. Ular formulani keltirib chiqarish qoidasiga asosan H dan keltirib chiqariladi, ya’ni 

H |- ( A → A) → ((A → В) → (A → A ˄ В ) ) ,                         (3) 

H |- B → (A → B)                                                                      (4) 

kabi bo'ladi. A → A isbotlanuvchi formula bo'lgani uchun 

Н |— A → A .                                                                     (5) 

(5) va (3) formulalardan xulosa qoidasiga asosan 

H |— (A → В ) → ( A → A ˄ В )                                              (6)

hosil bo'ladi. Xuddi shu kabi (2) va (4) formulalardan

H |— (A→B)                                                                              (7) 

munosabatga kelamiz. (7) va (6) formulalardan xulosa qoidasiga asosan 

H |— A→A˄B                                                                  (8) 

kelib chiqadi. U holda (1) va (8) formulalardan 

Н |—  A ˄ В                                                                     (9)

hosil bo'ladi. ya'ni A ˄ B formula H formulalar majmuasidan kelib chiqishini ko'rsatdik.  

H formulalar majmuasidan birorta ixtiyoriy formulani keltirib chiqarishda murakkab xulosa qoidasidan ham foydalansa bo'ladi. Bu holda (9) munosabatga (5), (7), (1) va (3) mulohazalar yordamida kelish mumkin

Keltirib chiqarish (isbotlash) tushunchasi.

2- t a ’rif. Agar , ,..., chekli formulalar ketma-ketligining har qanday hadi quyidagi uch shartning birortasini qanoatlantirsa, u holda bu ketma-ketlik H chekli formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan deyiladi: 

1. H formulalar majmuasining birorta formulasi;

2) isbotlanuvchi formula; 

3) ketma-ketlikning istalgan ikkita oldinma-keyin keladigan elementlaridan xulosa qoidasiga asosan hosil qilinadi. Oldingi paragrafdagi misolda ko'rsatildiki, H = {A,B} formulalar majmuasidan quyidagi formulalar chekli ketma-ketligi keltirilib chiqariladi:

А . В . (А → A ) → ((А → B) → (А → А ˄ В)). 

В → ( А → В ) , А →А, ( А → В) → (А → (A ˄В) ) , А → В, А →А˄В, А˄В. 

Agar murakkab xulosa qoidasidan foydalansak, u holda (isbotlash) keltirib chiqarish formulalari quyidagicha bo'ladi: 

А . В . (А → A ) → ((А → B) → (А → А ˄ В)). 

В → ( А → В ) , А →А,  А → В. А ˄ В.

Formulani keltirib chiqarish va formulalar majmuasidan keltirib chiqarish ta’riflariga asosan keltirib chiqarishning quyidagi xossalari hosil bo'ladi: 

1) H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan chekli ketma-ketlikning boshlang'ich qismi ham H dan keltirib chiqariladigan bo'ladi. 

2) Agar H dan keltirib chiqarilgan ketma-ketlikning ikkita qo'shni hadlari (elementlari) orasiga H dan keltirib chiqarilgan biror boshqa ketma-ketlik qo'yilsa, u holda hosil etilgan yangi formulalar ketma-ketligi ham H dan keltirib chiqarilishi mumkin. 

Haqiqatan ham, masalan, agar , … , , , … , va , … , ( lar H dan keltirib chiqarilsa, u vaqtda, keltirib chiqarish ta’rifiga asosan. , … , ,, … , , , … , ham H dan keltirib chiqariladigan bo'ladi. 

3) H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan formulalar ketmaketligining har qanday hadi H dan keltirib chiqariladigan formuladir. 

4) Agar HW bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqarilgan har qanday formula W ning ham formulasi bo'ladi. 

5) В formula H dan keltirib chiqariladigan formula bo’lishi uchun H dan keltirib chiqarilgan ixtiyoriy formulalar ketma-ketligida bu formulaning mavjud bo‘1ishi yetarli va zarurdir.

Xulosa

Ta’lim muassalarida matematikada mulohazalar algebrasi interpritatsiyalari doir mavzu va masalalar yetarlicha uchraydi. Ushbu mustaqil ishi esa matematik mantiqning yuqoridagi tushunchalarini yoritishga qaratilgan. Bunday mavzudagi misol, o’quvchilar uchun qiyin o’zlashtiriluvchi bo’lib hisoblanadi. Shuning uchun bunday mavzular bo’yicha ishlash o’quvchilardan malaka va ko’nikmalarni tarkib toptirish lozimligini talab qiladi.

Ushbu mustaqil ishidan xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz yuqorida misollarni yechishda mulohazalar algebrasi, mulohazalar hisobi formulalari va ularning xossalaridan foydalandik.

Mulohazalar algebrasi va uning interpritatsiyasilaridan kelib chiqadigan natijalar bizga rele–kontakt sxemalarini yasashga yordam beradi. Mulohazalar hisobi va mulohazalar algebrasi orasidagi munosabatlar mulohazalar hisobidagi formulaning aynan chin(tavtalogiya, umumqiymatli) formula bo’lishini isbotlashga yordam beradi.

mustaqil ishida mulohazalar hisobi bo’lishi uchun hisobning simvollar tavsifi, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat bo’lishi ekanligi ko’rsatildi.

mustaqil ishini bajarishda davomida oliy ta’lim muassalaridagi darsliklarga bog’liq ba’zi mavzularni bayon etishda namunaviy dasturiy dars matnlarini kiritdik.

Ta’lim muassasalari uchun mo’ljallangan matematik mantiq va diskret matematika darsliklarining misollar keltirilgan qismlarida biz keltirgan xossa va isbotlashlarning ba’zi usullaridan foydalanish o’quvchiga qulaylik yaratadi.

Mazkur mustaqil ishidan foydalanish oliy ta’lim muassasalari o’quvchilariga shu mavzudagi darsliklardagi nazariy ma’lumotlarga qo’shimcha ravishda bo’lib, mavzuni chuqurroq tushunish va malakaviy ko’nikmmaga ega bo’lish imkonini beradi.Reja:

Kirish

I.Mulohazalar Hisobi

1.Mulohazalar hisobi lormulasi

2.Isbotlanuvchi formula tushunchasi.

3.Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi.

II.Keltirib chiqarish qoidalari

1.Keltirib chiqarish (isbotlash) tushunchasi.

2.lsbotlash tushunchasi

III.Xulosa
 

KIRISH

Ta’lim jarayoniga multimedia sistemalarini qo‘llash natijasida o‘qituvchi bilimi va kompyuter imkoniyatlari birlashib, elektron darsliklar yaratilmoqda. Elektron darsliklar ko‘rgazmali, rangli tasvirlarga boy bo‘lib, bu darsliklardagi ma’lumotlar tez esda qolishi bilan ahamiyatlidir. Elektron darsliklar nazariy, amaliy qismlardan iborat bo‘lib, nazorat ishlari to‘plami, kurs ishlari mavzulari, o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar to‘plami va h.k.larni qamrab olishi mumkin. Eng ahamiyatlisi bu darslik bitta disk yoki boshqa elektron ma’lumotlarni saqlovchi fizik hajmi katta bo‘lmagan moslamaga joylashishi mumkin. Ta’lim jarayoniga axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini qo‘llash shartsharoitlari, imkoniyatlari. 1. Ta’limni axborotlashtirish-yangi sifatga erishishda ta’lim maqsadi, mazmuni, metod, vosita va natijalarining o‘zgarish jarayonidir. 2. Ta’limni axborotlashtirish – uni modernizatsiyalashtirishning muhim komponenti va zaruriy shartidir. 3. Ta’limni axborotlashtirish – ta’lim sub’ektlarining barcha faoliyat turlarida axborot-kommunikatsiyalari bo‘yicha kompetentligini o‘quv fanlari doirasida shakllantirish vazifasini hal etishni nazarda tutadi. 4. Axborot-kommunikatsiyalari bo‘yicha kompetentlikning muhim komponenti - ommaviy axborot vositalari va Internet materiallariga faol va mustaqil tanqidiy yondashuvdir. 5. Ta’lim muassasasi faoliyatining barcha sohalarini axborotlashtirish, kompyuterni barcha rahbar va o‘qituvchining ish quroliga aylantirish orqaligina ta’limni axborotlashtirishni amalga oshirish mumkin.

1.1 Mulohazalar hisobi formulasi

Ushbu bobda mulohazalar hisobining simvollari, lormulasi, aksiomalar sistemasi, keltirib chiqarish qoidalari, formulalar majmuasidan formulani keltinb chiqarish qoidasi, deduksiya va umumlashgan deduksiya teoremalari, ayrim mantiq qonunlarining isboti, mulohazalar algebrasi va mulohazalar hisobi orasidagi munosabatlar, mulohazalar hisobida yechilish, zidsizlik, toMiqlilik va erkinlik muammolari kabi masalalar bayon ctilgan. Mulohazalar hisobi aksiomalik mantiqiy sistema bo‘lib, mulohazalar algebrasi esa lining interprctatsiyasidir (talqinidir). Berilgan aksiom alar sistem asi negizida qurilgan aksiomatik nazariya deb, shu aksiom alar sistem asiga tayanib isbollannrchi hamma teorem alar m ajm uasiga aytiladi. Aksiomatik nazariya formal va formalmas nazanyalarga bo‘linadi. Formalmas aksiomatik na/ariya nazariy-to'plamiy mazmun bilan to‘Idirilgan bo"lib, keltirib chiqarish tushunchasi aniq berilmagan va bu nazariya asosan llkr mazmuniga suyanadi. Qaralayotgan aksiomatik nazariya uchun quyidagi shartlar bajarilgan bo "Isa. y a ’ni: 1) nazariyaning tili berilgan; 2) formula tushunchasi aniqlangan; 1) aksiomalar deb alaluvchi formulalar to'plami berilgan; 4) bu nazariyada keltirib chiqarish qoidasi aniqlangan bo'lsa, formalaksiomatik nazariya aniqlangan deb hisoblanadi

Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobmngtafsifi bu hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat.

Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul qilinadi.

Birinchi kategoriya simvollari: x,y,z, ... , ,...Bu simvollarni o‘zgaruvchilar deb ataymiz.

Ikkinchi kategoriva simvollari:  ˄.  ˅. →.  ¬. Bular mantiqiy bog'lovehilardir. Birinchisi - dizyunksiya voki mantiqiy qo'shish belgisi, ikkinchisi - kon’yunksiya yoki mantiqiy ko‘paytma belgisi, uchinchisi implikatsiya belgisi va to'rtinchisi - inkor belgisi deb ataladi. Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( . ) simvollar kiritiladi.

 Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo‘q

Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalarhisobining formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muavyan ketma-ketligiga aytiladi.

Formulalarni belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi. Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo‘lib xizmat qiladi. Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta'rifini keltiramiz.

Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi: 

1) har qanday x, y, z, ... о ‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir; 

2) agar A va В ning har biri formula bo‘lsa, u holda ( А ˄ В ), [ A ˅ В ), ( A →B) va ham formuladir.

3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi. O'zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz.

Formula ta ’rifining 1) bandiga ko'ra x,v,z,... o'zgaruvchilarning har biri formula bo'ladi. U vaqtda ta ’rifning 2) bandiga muvofiq (х˄y ) , (x˅y ) , ( x→y ),  ham formulalardir. Xuddi shu kabi (x ˅ y ), ((х ˄ y )→z)). ((х ˄ y ) → z ) ) , ((х ˄ y )  → ( y →z)) ham formulalar bo'ladi. 

Quyidagilar formula bo'la olmaydi:

x .  ˄z . (x ˅ y , x→y. (х˄y ) →.

Mulohazalar hisobi qismiy formulasi tushunchasi quvidagicha aniqlanadi

1) elementar formula uchun faqat uning о‘zi qismiy formuladir; 

2) agar A formula bo'lsa, u holda shu formulaning o'zi, A formula va A formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi;

3) agar formula A * В ko'rinishda bo'lsa (bu yerda va bundan keyin * o'rnida ˅ , ˄ yoki → simvollardan birortasi bor deb tushunamiz), u holda shu formulaning o'zi, A va В formulalar hamda A va В  formulalarning barcha qismiy formulalari A * В formulaning qismiy formulalari bo 'ladi.

2-misol.       ((x˅ ) →( )) formula uchun:

((x˅ ) →( )) - nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula, 

((x˅ ) ,( ))  - birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

x˅  →( →y) -ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

y,  ~ uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,

 z - to‘rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo'ladi. 

 Formulalarni yozishda ayrim soddalashtirishlarni qabul qilamiz. Xuddi mulohazalar algebrasidagi kabi qavslar haqidagi kelishuv va mantiqiy amallarni bajarish imtiyozlari bu yerda ham o‘rinli deb hisoblaymiz. Bu kelishuv va imtiyozlarga binoan, masalan, 

((x˅y)˄z), (x˄y) va ((x˄y)→(z˄t))  formulalarni mos ravishda 

x˅y˄z), x˄y va x˄y→z˄t ko ‘rinishda yozish mumkin.

1.2 Isbotlanuvchi formula tushunchasi.

Endi mulohazalar hisobida isbotlanuvchi formulalar sinfini o'rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchasiga ham formula tushunchasi ta'rifiga o‘xshash ta’rif beriladi. Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali mavjud isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi. Dastlabki isbotlanuvchi formulalardan keltirib chiqarish qoidasini qo‘llash yo'li bilan yangi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish shu formulalarni aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi.

1.3 Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi.

Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo’lib, ular to‘rt guruhga bo’linadi.

Birinchi guruh aksiomalari: 

1.1. x→ ( y→ x ) . 

1.2. (x→(y→z))→(( x→y) → ( x→z )) .

Ikkinchi guruh aksiomalari: 

2.1. x˄y→x.

2.2. x˄y→y

2.3. (z→x)→((z→y)→(z→x˄y)).

Uchinchi guruh aksiomalari: 

3.1 x→x˅y.

3.2 y→x˅y

3.3 (x→z)→((y→z)→(x˅y→z)).

To'rtinchi guruh aksiomalari: 

4.1 (x→y)→→)

4.2 x→

4.3→x

2.1 Keltirib chiqarish tushunchasi.

Keltirib chiqarish. O'rniga qo'yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi. Isbotlash.

Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb ataluvchi o‘rniga qo’yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi. 

4.2.1. O'rniga qo'yish qoidasi. Agar A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulasi, x o'zgaruvchi, В mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo‘lsa, u holda A formula ifodasidagi hamma x lar o'rniga В formulani qo'yish natijasida hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo'ladi. A formuladagi hamma x o'zgaruvchilar o'rniga В formulani qo'yish operatsiyasini (jarayonini) o'rniga qo'yish qoidasi deb aytamiz va uni . quyidagicha belgilaymiz:

O'rniga qo'yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz:

1. agar A faqat x o'zgaruvchidan iborat bo'lsa. u holda . o'rniga qo'yish В formulani beradi:
2.  agar A formula x dan farqli у o'zgaruvchidan iborat bo'lsa, u  vaqtda . o'rniga qo'yish A ni beradi;
3. agar A o'rniga qo'yish aniqlangan formula bo'lsa, u holda formuladagi x o'rniga В formulani qo'yish natijasida o'rniga qo'yishning inkori kelib chiqadi, ya’ni o'rniga qo'yish ni beradi.
4. agar va formulalarda o‘rniga qo‘yish aniqlangan bo'lsa, u holda  o'rniga qo'yish * ni beradi.

c) agar A, va Л2 formulalarda o ‘rniga q o ‘yish aniqlangan bo'Isa, 11 />■ н holda | ( A, * A2 ) o'rniga qo'yish J ( A] ) * J ( A2 ) ni beradi.

Agar A isbotlanuvchi formula bo'lsa, u holda uni |—A shaklda yozishga kelishamiz. U holda o'rniga qo'yish qoidasini quyidagicha  sxematik ravishda ifodalash mumkin: va uni “agar A isbotlanuvchi formula bo'lsa, u holda ham isbotlanuvchi formula bo'ladi” deb o‘qiladi.

4.2.2. Xulosa qoidasi. Agar A va A→B mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulalari bo'lsa, u holda B ham isbotlanuvchi formula bo'ladi. Bu qoida xulosa qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:

|A|A*B

|-B

1-t a ’rif (isbotlanuvchi formula ta’rifi). 

a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir; 

b) isbotlanuvchi formuladagi X о 'zgaruvchi о'rniga ixtivoriv В formulani qo'yish natijasida hosil bo’lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi; 

d) A va A→В isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida olingan В formula isbotlanuvchi formuladir; 

e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula emas. 

2- t a ’rif. Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish jarayoni isbot qilish (isbotlash) deb ataladi. 

1- m i s o l . |- A→A bo'lishini (implikatsiyaning refleksivligini) isbotlaymiz. Buning uchun aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda o'rniga qo'yishni bajarish natijasida

|-( X→ ( y→X ) )→( ( X→у )→(x→x) ) ( 1 )

 kelib chiqadi. aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo'llab 

|-(x→y )→(x→x) ( 2 ) 

formulani hosil qilamiz. 

(2) formulaga nisbatan o‘rniga qo'yishni bajarish natijasida 

|-(x→)→(x→x)   ( 3 ) 

isbotlanuvchi formulaga ega bo'lamiz. 

aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo’llash natijasida 

|-x→x          (4) 

isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi x o'zgaruvchi o’rniga A formulani qo'ysak |- A→A isbotlanishi kcrak bo'lgan formula hosil bo'ladi

2- misо1. |-x˅у→ ˄ ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham. aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o'rniga qo'yish usulini qo'llaymiz: avval x ni ga va keyin у ni ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega bo'lamiz.

 |— (z→ )→ ((z→ ) → ( z→ ˄ ))                  (5) 

(5) formulaga nisbatan o’rniga qo'yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz:

|-(()→)→((→у)→ (→ ˄ ) ) . 

Endi   →      (6) 

→      (7) 

formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun aksiomaga nisbatan 

o'rniga qo'yishni bajaramiz. Natijada |-(x→x˅y)→(→x)     (8)

formulaga ega bo'lamiz. (8) formula va aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini ishlatib. (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko'rsatish mumkin. 

(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo'llasak.

|-(→y) → ( → ˄)   (9) 

isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.

(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo'llab, berilgan |- ( → ˄)  formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz .

2.1 lsbotlash tushunchasi

Keltirib chiqarish qoidasi.

 Keltirib chii/eiri/adigtin formulalar sinfi. Isbotkm uvcbi form ulalar sinfi. lsbotlash tushunchasi. Keltirib chiqarishning xossalari. 

4.4.1. Formulani keltirib chiqarish qoidasi. H={,, … ,} chekli formulalar majmuasi (to'plami) berilgan bo'lsin. Bu formulalar majmuasidan formulani keltirib chiqarish tushunchasini o'rganamiz. 

1- t a ’rif. 1) Har qanday A, H formulalar majmuasi H dan keltirib chiqariladigan formuladir. 

2 ) Har qanday isbotlanuvchi formula H dan keltirib chiqariladi. 

3) С va С → В lar H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan formulalar bo’lsa, u holda В formula ham H dan keltirib chiqariladi. 

Biror В formula H formulalar majmuasidan keltirib chiqariladigan bo'lsa, uni simvolik ravishda H |- В shaklda yozamiz. Agar H bo‘sh to'plam yoki elementlari faqat isbotlanuvchi formulalardan iborat bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfi bilan mos keladi. Agar formulalar majmuasi H ning hech bo'lmaganda bitta elementi isbotlanmaydigan formuladan iborat bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfiga nisbatan kengroq bo'ladi. Misol. A ˅ B formula H = {A,B} formulalar majmuasidan keltirib chiqarilishini ko'rsatamiz. Haqiqatdan ham, A H va BH bo'lgani uchun formulani keltirib chiqarish qoidasiga asosan quyidagilar o'rinli: 

H |-A                                                             (1)

H |- B                                                             (2)

va aksiomalarga nisbatan va ) o'rniga qo'yishlarni bajaramiz. Natijada isbotlanuvchi formulalar hosil bo'ladi. Ular formulani keltirib chiqarish qoidasiga asosan H dan keltirib chiqariladi, ya’ni 

H |- ( A → A) → ((A → В) → (A → A ˄ В ) ) ,                         (3) 

H |- B → (A → B)                                                                      (4) 

kabi bo'ladi. A → A isbotlanuvchi formula bo'lgani uchun 

Н |— A → A .                                                                     (5) 

(5) va (3) formulalardan xulosa qoidasiga asosan 

H |— (A → В ) → ( A → A ˄ В )                                              (6)

hosil bo'ladi. Xuddi shu kabi (2) va (4) formulalardan

H |— (A→B)                                                                              (7) 

munosabatga kelamiz. (7) va (6) formulalardan xulosa qoidasiga asosan 

H |— A→A˄B                                                                  (8) 

kelib chiqadi. U holda (1) va (8) formulalardan 

Н |—  A ˄ В                                                                     (9)

hosil bo'ladi. ya'ni A ˄ B formula H formulalar majmuasidan kelib chiqishini ko'rsatdik.  

H formulalar majmuasidan birorta ixtiyoriy formulani keltirib chiqarishda murakkab xulosa qoidasidan ham foydalansa bo'ladi. Bu holda (9) munosabatga (5), (7), (1) va (3) mulohazalar yordamida kelish mumkin

Keltirib chiqarish (isbotlash) tushunchasi.

2- t a ’rif. Agar , ,..., chekli formulalar ketma-ketligining har qanday hadi quyidagi uch shartning birortasini qanoatlantirsa, u holda bu ketma-ketlik H chekli formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan deyiladi: 

1. H formulalar majmuasining birorta formulasi;

2) isbotlanuvchi formula; 

3) ketma-ketlikning istalgan ikkita oldinma-keyin keladigan elementlaridan xulosa qoidasiga asosan hosil qilinadi. Oldingi paragrafdagi misolda ko'rsatildiki, H = {A,B} formulalar majmuasidan quyidagi formulalar chekli ketma-ketligi keltirilib chiqariladi:

А . В . (А → A ) → ((А → B) → (А → А ˄ В)). 

В → ( А → В ) , А →А, ( А → В) → (А → (A ˄В) ) , А → В, А →А˄В, А˄В. 

Agar murakkab xulosa qoidasidan foydalansak, u holda (isbotlash) keltirib chiqarish formulalari quyidagicha bo'ladi: 

А . В . (А → A ) → ((А → B) → (А → А ˄ В)). 

В → ( А → В ) , А →А,  А → В. А ˄ В.

Formulani keltirib chiqarish va formulalar majmuasidan keltirib chiqarish ta’riflariga asosan keltirib chiqarishning quyidagi xossalari hosil bo'ladi: 

1) H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan chekli ketma-ketlikning boshlang'ich qismi ham H dan keltirib chiqariladigan bo'ladi. 

2) Agar H dan keltirib chiqarilgan ketma-ketlikning ikkita qo'shni hadlari (elementlari) orasiga H dan keltirib chiqarilgan biror boshqa ketma-ketlik qo'yilsa, u holda hosil etilgan yangi formulalar ketma-ketligi ham H dan keltirib chiqarilishi mumkin. 

Haqiqatan ham, masalan, agar , … , , , … , va , … , ( lar H dan keltirib chiqarilsa, u vaqtda, keltirib chiqarish ta’rifiga asosan. , … , ,, … , , , … , ham H dan keltirib chiqariladigan bo'ladi. 

3) H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan formulalar ketmaketligining har qanday hadi H dan keltirib chiqariladigan formuladir. 

4) Agar HW bo'lsa, u holda H dan keltirib chiqarilgan har qanday formula W ning ham formulasi bo'ladi. 

5) В formula H dan keltirib chiqariladigan formula bo’lishi uchun H dan keltirib chiqarilgan ixtiyoriy formulalar ketma-ketligida bu formulaning mavjud bo‘1ishi yetarli va zarurdir.

Xulosa

Ta’lim muassalarida matematikada mulohazalar algebrasi interpritatsiyalari doir mavzu va masalalar yetarlicha uchraydi. Ushbu mustaqil ishi esa matematik mantiqning yuqoridagi tushunchalarini yoritishga qaratilgan. Bunday mavzudagi misol, o’quvchilar uchun qiyin o’zlashtiriluvchi bo’lib hisoblanadi. Shuning uchun bunday mavzular bo’yicha ishlash o’quvchilardan malaka va ko’nikmalarni tarkib toptirish lozimligini talab qiladi.

Ushbu mustaqil ishidan xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz yuqorida misollarni yechishda mulohazalar algebrasi, mulohazalar hisobi formulalari va ularning xossalaridan foydalandik.

Mulohazalar algebrasi va uning interpritatsiyasilaridan kelib chiqadigan natijalar bizga rele–kontakt sxemalarini yasashga yordam beradi. Mulohazalar hisobi va mulohazalar algebrasi orasidagi munosabatlar mulohazalar hisobidagi formulaning aynan chin(tavtalogiya, umumqiymatli) formula bo’lishini isbotlashga yordam beradi.

mustaqil ishida mulohazalar hisobi bo’lishi uchun hisobning simvollar tavsifi, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat bo’lishi ekanligi ko’rsatildi.

mustaqil ishini bajarishda davomida oliy ta’lim muassalaridagi darsliklarga bog’liq ba’zi mavzularni bayon etishda namunaviy dasturiy dars matnlarini kiritdik.

Ta’lim muassasalari uchun mo’ljallangan matematik mantiq va diskret matematika darsliklarining misollar keltirilgan qismlarida biz keltirgan xossa va isbotlashlarning ba’zi usullaridan foydalanish o’quvchiga qulaylik yaratadi.

Mazkur mustaqil ishidan foydalanish oliy ta’lim muassasalari o’quvchilariga shu mavzudagi darsliklardagi nazariy ma’lumotlarga qo’shimcha ravishda bo’lib, mavzuni chuqurroq tushunish va malakaviy ko’nikmmaga ega bo’lish imkonini beradi.